Mathfitness: Esercizio - Funzione Irrazionale

Funzione irrazionale

1) Definizione di funzione:

-Funzione irrazionale.

2) Determinare il campo di esistenza, o dominio, della funzione.

-E' una funzione irrazionale, si controlla l'indice, in questo caso è pari quindi si pone il radicando >= a 0

ora si procede con il calcolo, le soluzioni sono:

3) Ricercare gli eventuali intersezioni con gli assi x e y.

-Asse x

Si pone a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:

$\left\{\begin{matrix} y=0 \\ y=\sqrt{x^{2}-9} \end{matrix}\right.$ ovvero risolvi l'equazione F(x)=0.

$\left\{\begin{matrix} y=0 \\ \sqrt{x^{2}-9}=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y=0 \\ x=-3 \ U\ x=3 \end{matrix}\right.$

-Asse y

Si pone a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:

$\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=\sqrt{x^{2}-9} \end{matrix}\right.$ qui è inutile procedere perché se assegniamo 0 alla x sarà impossibile in quanto 0 non appartiene al dominio.

4) Studiare il segno della funzione

Studia la disequazione f(x)>0.
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

Il risultato è:

y>0

perché una radice quadrata è sempre maggiore di 0

y<0 impossibile

5) Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del
C.D.E.

Calcolare i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti x_i (dove x_iè uno degli estremi C.D.E.) e all'infinito

$\lim_{x\rightarrow x_{i}} F(x)=...$

Riportare con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } F(x)=...$

6) Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali

Se $\lim_{x\rightarrow \mathit{c} } F(x)= \pm \infty$ allora f(x) ammette

un asintoto verticale di equazione x = c

(c è un punto in cui la funzione non è definita).

Se $\lim_{x\rightarrow \pm \infty } F(x)= \mathit{l}$ ( con l'infinito) , allora f(x) ammette un asintoto orizzontale di equazione

y = l

Prendiamo gli estremi degli intervalli e calcoliamo i limiti:

quando c'è una radice si può dire che il limite di una radice è il limite del radicando, che in questo caso è un polinomio, quindi il risultato è infinito.

la stessa cosa qui.

La nostra funzione non ammette un asintoto verticale.

La nostra funzione non ammette un asintoto orizzontale.

-Un altra condizione è la seguente, che ci permette di verificare se si trova un asintoto obliquo:

$\lim_{x \to \pm \infty } \mathit{f}(x)=\infty$

allora si calcolano i due limiti :

$m = \lim_{x \to \infty } \frac{\mathit{f}(x)}{x}$

che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e

$q = \lim_{x \to \infty } [\mathit{f}(x)- mx]$

che fornisce il valore del termine noto q della retta.

Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta y= mx + q è un asintoto della curva.

La prima condizione si è verificata:

$\lim_{x \to \pm \infty } \mathit{f}(x)=\infty$

quindi andiamo avanti:

$\lim _{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}=m\neq 0$

calcoliamo:

$\lim _{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}=1$

anche questa condizione si è verificata ora passiamo all'ultima condizione:

ora sostituiamo i valori:

y=mx+q => y=-x

La funzione ammette asintoto obliquo.

7)Calcolo delle derivate prima e seconda.
Il calcolo della derivata prima serve per determinare li intervalli in cui la funzione cresce o decresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.