Funzione Razionale Intera
1) Definizione di Funzione
2) Determinare il campo di esistenza, o dominio, della funzione.
-E' una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l'asse Reale.
3) Ricercare gli eventuali intersezioni con gli assi x e y.
-Asse x
Si pone a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse:
ovvero risolvi l'equazione F(x)=0.
-Asse y
Si pone a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate:
ovvero risolvi l'equazione y=F(0).
4) Studiare il segno della funzione
Studia la disequazione f(x)>0.
Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse.
Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.
Il risultato è:
y>0
y<0
5) Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del
C.D.E.
Calcolare i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xi (dove xi è uno degli estremi C.D.E.) e all'infinito
=... "\lim_{x\rightarrow x_{i}} F(x)=...")
Riportare con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.
=... "\lim_{x\rightarrow \pm \infty } F(x)=...")
C.D.E.
Calcolare i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xi (dove xi è uno degli estremi C.D.E.) e all'infinito
Riportare con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.
6) Ricerca degli eventuali asintoti verticali e orizzontali
La nostra funzione non ammette un asintoto verticale.
La nostra funzione non ammette un asintoto orizzontale.
-Un altra condizione è la seguente, che ci permette di verificaqre se si trova un asintoto obliquo:
Se
=\infty "\lim_{x \to \pm \infty } \mathit{f}(x)=\infty")
allora si calcolano i due limiti :
}{x} "m = \lim_{x \to \infty } \frac{\mathit{f}(x)}{x}")
che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e
-%20mx] "q = \lim_{x \to \infty } [\mathit{f}(x)- mx]")
che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta y= mx + q è un asintoto della curva.
La prima condizione si è verificata:
quindi andiamo avanti:
il risultato è infinito, quindi:
La funzione non ammette asintoto obliquo.
Se =%20\pm%20\infty "\lim_{x\rightarrow \mathit{c} } F(x)= \pm \infty")
allora f(x) ammette
un asintoto verticale di equazione x = c
(c è un punto in cui la funzione non è definita).
(c è un punto in cui la funzione non è definita).
Se =%20\mathit{l} "\lim_{x\rightarrow \pm \infty } F(x)= \mathit{l}")
( con l'infinito) , allora f(x) ammette un asintoto orizzontale di equazione
y = l
Prendiamo gli estremi degli intervalli e calcoliamo i limiti:
quando c'è un polinomio il risultato è sempre infinito.
la stessa cosa qui.
La nostra funzione non ammette un asintoto verticale.
La nostra funzione non ammette un asintoto orizzontale.
-Un altra condizione è la seguente, che ci permette di verificaqre se si trova un asintoto obliquo:
Se
allora si calcolano i due limiti :
che fornisce il coefficiente angolare m della retta, e
che fornisce il valore del termine noto q della retta.
Se questi due limiti esistono e sono finiti, allora la retta y= mx + q è un asintoto della curva.
La prima condizione si è verificata:
quindi andiamo avanti:
il risultato è infinito, quindi:
La funzione non ammette asintoto obliquo.
7)Calcolo delle derivate prima e seconda.
Il calcolo della derivata prima serve per determinare li intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.
La derivata prima della nostra funzione è:
il risultato è "6x+6"
le frecce indicano che: dove è negativa, la funzione decresce, dove è positiva la funzione cresce.
dove è positivo va verso l'alto, dove è negativo va verso il basso.
Il calcolo della derivata prima serve per determinare li intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso.
La derivata prima della nostra funzione è:
il risultato è "6x+6"
-Ora dobbiamo riportare gli zeri della derivata prima:
y'=o <=> 6x+6=0
è di primo grado, ha una soluzione:
x=-1
-Studio del segno della derivata prima:
a destra prende il segno di "a" e a sinistra il segno contrario
le frecce indicano che: dove è negativa, la funzione decresce, dove è positiva la funzione cresce.
-Riportiamo gli intervalli della derivata prima:
-Punti di minimo e massimo relativo:
la funzione assume un punto di minimo in "x=-1" perché nell'intorno sinistro è negativo e nell'intorno destro è positivo.
-Per sapere il punto di minimo, andiamo a sostituire il valore "-1" alla derivata prima per trovarci il secondo punto:
y=6x+6 => y=6(-1)+6 => y=0
quindi la nostra funzione avrà un punto di minimo in (-1,0)
quindi la nostra funzione avrà un punto di minimo in (-1,0)
-Passiamo alla derivata seconda
per calcolare la derivata seconda bisogna applicare le stesse regole di derivazione, quindi si prende la derivata prima:
6x+6
e si calcola poi la derivata seconda:
y"=6
si calcola poi il segno:
dove è positivo va verso l'alto, dove è negativo va verso il basso.
Ed infine ecco la rappresentazione grafica:
Nessun commento:
Posta un commento